ありがとうございます！
福岡空港〜東峰村〜湯布院〜大分空港（もしくは福岡空港）で二泊三日なら問題なく行けると思いますよ。

宿はおすすめできるほど知らないのですが、別府杉乃井ホテルは身の回りでは評判良いです。有名で大きめなホテルなので静かにゆっくりというより家族でワイワイという感じの方が合うかもしれませんが…。
あとは、身も蓋もありませんが「楽天トラベル」「じゃらん」等で高評価順に並べ、口コミがそこそこ揃っており文章に実感がこもっていると感じられた場所から選べば、経験上そう外すことはありません。

湯布院なら金鱗湖や由布岳を見ながらのドライブ、別府に行くなら地獄めぐりや鉄輪温泉などもおすすめです。

唐津は湯布院から2時間半位なので、ややバタバタしますが行けなくはないかなという感じです。焼物という点では有田、伊万里などその周辺の方が充実している気はしますし選択肢としてはアリかと。その場合は呼子の朝市やイカ、近隣の嬉野温泉や武雄温泉に泊まるとよいですね。

ぜひ九州旅行楽しまれてください！